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r423.jp

問題と解答

以下の問題を出された。いや実に難しくまる1日悩みました。で、その問題と解答をここに記述する。


問題

12個の玉がある。うちひとつだけ重さが違うものが存在する。天秤を3回だけつかい、そのひとつを特定せよ。またその際、他の玉と重いのか軽いのかも特定せよ。


解答

4つずつ、3つのグループに分ける。それぞれA,B,Cとする。また、重量の違う玉をxとする。
AとBを天秤にかける。(1回目)
|
+-傾いた場合
| ABの8つの玉のうちにxが混じっていることが解る。でかつ重い可能性がある玉が4つ、軽い可能性がある玉が4つとなる。
| その8つの玉を次のようにグループ分けする。
|   重軽軽・・・D
|   重軽軽・・・E
|   重重・・・・F
| で、次にDとEを天秤にかける(2回目)
| | 
| +-Dに傾いた場合
| | Dの重い玉、もしくはEの2つの軽い玉のいずれかにxがあると特定できる。すなわち3つに特定できる。
| | でEにあった2つの軽い玉を天秤にかける(3回目)
| | +-傾いた場合
| | | 軽かった方が、x
| | +-つりあった場合
| |   天秤にかけなかった、重い玉がx
| |
| +-Eに傾いた場合
| | Eの重い玉、もしくはDの2つの軽い玉のいずれかに、以下同文。
| |
| +-つりあった場合
|   Fの2つのいずれかがxであると特定できる。よって、Fの2つを天秤にかける(3回目)
|     傾いた方が、x
|
+-1回目の天秤でつりあった場合
  Cの4つの玉にxが混じっていることが解る。またABはすべて同じ重さということが解る。
  Cのうち3つを選択し、またAのうち3つを選択し天秤にかける(2回目)
  |
  +-元Cに傾いた場合
  | 天秤にかけた元Cの3つが重いことが解る。
  | 3つのうち2つを天秤にかける。(3回目)
  | +-傾いた場合、
  | | 2つのうち重い方がx
  | +-つりあった場合
  |  残りの1つがx
  |
  +-元Aが傾いた場合
  | 天秤にかけた元Cの3つが軽いことが解る。
  | 上記と同様に、以下同文。
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  +-つりあった場合
    天秤にかけなかった1にxが特定される。
    で、同じ重さの玉と、xを天秤にかけてると(3回目)xが軽いか重いが解る。